Gesetz der großen Zahlen

„Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an die theo- retische Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis (Erwartungswert) annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.“

Im Beispiel also: Je häufiger wir eine Münze werfen desto mehr nähert sich die Verteilung von Kopf und Zahl, der von uns intuitiv eingeschätzten Wahrscheinlichkeit von 50% für jede Seite, an.

So einfach und einleuchtend dieser Sachverhalt auch klingt, führt er jedoch häufig zu Missverständnissen.

Ein Beispiel möchte ich hier anführen:
Wenn man in einem Spielcasino einen Roulette Tisch beobachtet, bei dem 8-mal Rot hintereinander ausgespielt wurde setzt kaum noch jemand auf Rot. Die Spieler gehen nach ihrer Intuition, die durchaus mit dem Gesetz der großen Zahlen im Einklang ist, davon aus, dass jetzt Schwarz kommen müsse um dieses Ungleichgewicht auszugleichen.
Andererseits sind Roulett-Läufe doch voneinander unabhängig, denn die Kugel Besitzt ja kein Gedächtnis oder Steuerung, die ihr sagt: „8-mal Rot! Jetzt muss ich aber auf schwarz“. Durch dieses Beispiel geraten wir in ein Dilemma und fragen uns, wo der Widerspruch zu finden ist?

Ganz klar in der Missdeutung des Gesetztes. Das passiert häufig bei beginnenden Versuchsreihen, bei dem ein Ergebnis, im Vergleich zu seinen Wahrscheinlichkeiten, stark über- oder unterrepräsentiert ist. Das ist in unserem obigen Beispiel des Roulette-Tisches der Fall. Nun wird erwartet das ein gegenläufiger Ausgleich erfolgen muss um dem Gesetz der großen Zahlen zu entsprechen. Das ist natürlich eine Fehldeutung der Definition. In der Definition ist nur die Rede davon, dass sich die relativen Häufigkeiten auf die Wahrscheinlichkeiten hinbewegen. Wenn sich also nach diesem Ungleichgewicht von 8-mal Rot danach wieder eine etwas gleichgewichtigere Ausspielung einstellt, haben wir bereits einen relativen Ausgleich. Da solche Ungleichgewichte eher die Ausnahme sind, ist dieser relative Ausgleich stets sehr wahrscheinlich. Das Gesetz der großen Zahlen ermöglicht uns also einen Brückenschlag zwischen Theorie und Praxis.

Wir lassen nun einmal psychologische Aspekte, die die genauere Einschätzung des Gegners betreffen, außen vor. Wir befinden uns also in einer Situation, in der wir keinerlei psychologische Basis haben, auf der unsere Entscheidungsfindung beruht.
In dieser Situation ist es also völlig fehlerhaft zu denken: „Der Gegner hatte jetzt dreimal gute Karten, ein viertes Mal kann er ja einfach keine guten Karten mehr haben.“

Ein weiterer Beispiele, das obige Aspekte recht gut zusammenfasst, ist die Aussage, dass Poker kein Glücksspiel sei, sondern ein Strategiespiel und Pokerwahrscheinlichkeiten somit den Gesetzen der Mathematik unterliegen.  Das ist auch korrekt, da man nach dem Gesetz der großen Zahlen davon ausgehen muss, dass bei genügend vielen Spielern jeder gleich gute Karten hat. Also ist dann der Glücksfaktor bei allen Spielern gleichverteilt und somit gewinnt der Spieler mit der besten Strategie.